数列前n项和S­_n的求法

数列前n项和S­_n=a₁+ a ₂+ a ₃+…+ a _­n­­，对任何一个可求和数列求前n项和一般有下列几种方法。

一、直接求和法：对等差数列、等比数列或可以转化成等差等比数列的数列，求前n项和S­_n­_­可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

例1、（1）已知数列{a_­n­}满足：a_­n­=2n+3,求S­_{n 。}

_­（2）已知数列{a_­n­}的通项公式a_­n­=3·2ⁿ，求S­_{n 。}

例2、求数列 1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，… 的前n项和S­_n。

练习：计算 $\sqrt {2\sqrt {2\sqrt {2 \cdots \sqrt 2 } } } $（共n个根号）的值_。

二、分组求和法：将数列的一项分成两项（或多项），然后重新去组合，再利用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。值得注意的是，通项公式是“分项”的依据，没有写出通项公式的数列首先要求出通项公式再根据通项公式进行“分项”。

例3、求数列{n+2ⁿ}的前n项和。

例4、计算：$(a + \frac{1}{a})^2 + (a^2 + \frac{1}{{a^2 }})^2 + (a^3 + \frac{1}{{a^3 }})^2 + \cdots (a^n + \frac{1}{{a^n }})^2 $ _。

例5、求数列 0.9，0.99，0.999，0.9999，…的前n项和 _。

例6、计算：$1 \times n + 2 \times (n - 1) + 3 \times (n - 2) + 4 \times (n - 3) + \cdots + n \times 1$ _。

三、拆项相消法：将数列的一项拆成两项（或多项），使得前后项相抵消，留下的有限项，从而求出数列的前n项和。与分项求和法不同的是它靠抵消项而不是靠重新去组合来求和，相同的是通项公式是“拆项”的依据，没有写出通项公式的数列首先要求出通项公式再根据通项公式进行“拆项”。

例7、求数列{$\frac{1}{{(2n - 1)(2n + 1)}}$ }的前n项和_。

例8、计算：$1 + \frac{1}{{1 + 2}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3}} + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + 4}} + \cdots + \frac{1}{{1 + 2 + 3 + \cdots + n}}$的值_。

四、错位相减求和法：差比数列的前n项和用错位相减求和法求和，在和式的两边同乘以公比q，再错位相减即可以求出前n项和。

差比数列­­的定义：数列{$a_n $}的通项公式形如：$a_n = b_n c_n $，其中{$b_n $}是等差数列，{$c_n$}是等比数列的数列{$a_n $}叫差比数列。

例9、求数列{$(3n + 1) \cdot \frac{1}{{2^n }}$ }的前n项和_。

例10、计算：$1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + ( - 1)^{n + 1} n$的值_。

作 业

（1）、求数列 5，55，555，5555，…的前n项和_。

（2）、求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19… 的前n项和_。

（3）、已知数列{a_­n­}的通项公式a_­n­=$\frac{{3^n + 2}}{{2^{n + 1} }}$，求S­_{n 。}

（4）、求数列$1,3x,5x^2 ,7x^3 , \cdots ,(2n - 1)x^{n - 1} $的前和_。

（5）、求数列{$\frac{1}{{(3n - 2)(3n + 1)}}$ }的前n项和_。

（6）、求数列 $1,1 + \frac{1}{2},1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4},1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}\,, \cdots ,1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{{2^{n - 1} }}$的前

n项和_。

（7）、求数列{$\frac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}$ }的前n项和_。

（8）、求数列 10，200，3000，40000，…的前n项和_。